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一、计算题

1． 设随机变量X 和Y 的分布列分别为

表

1

表

2

已知P （XY=0）=1，试求

的分布列.

表

3

【答案】记（X , Y ）的联合分布列及各自的边际分布为

由题设条件P （XY=0）=1,

知

表

4

1所以

得0代入上表得

此时从下表可得，由此又得=0, 进而确

表5

即（X , Y ）的联合分布列为

所以的分布列为

表

6

2． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且

（2）设（3）证明

为设

.

;

为来自总体Z 的简单随机样本, 求的无偏估计量.

服从正态分布, 且

为样本

（1）求Z 的概率密度

与, 其中是未

的最大似然估计量;

【答案】（1）由于X 与Y 相互独立, 则故得X 的概率密度为（2）设

的观测值, 则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

, 解得

.

, 故

,

（3）由于是的无偏估计量.

3． 我们知道营业税税收总额y 与社会商品零售总额x 有关. 为能从社会商品零售总额去预测税收总额，需要了解两者之间的关系. 现收集了如下九组数据（单位:亿元）:

表

（1）画散点图；

（2）建立一元线性回归方程，并作显著性检验（取区间；

（4）若已知回归直线过原点，试求回归方程，并在显著性水平0.05下作显著性检验. 【答案】 （1）散点图如图:

，列出方差分析表；

（3）若已知某年社会商品零售额为300亿元，试给出营业税税收总额的概率为0.95的预测

图

类似的问题我们已经做过多次，此处我们使用MA TLAB 统计软件来进行，把数据输入到worksheet 中，在选项stat 中选择regression. 在弹出的对话框中将因变量和自变量选入即可，得到的回归方程为

，方差分析表如下:

表

根据以上结果，在显著性水平下，回归方程是显著的.

.

（3）按照（2）的步骤进入regression 对话框，点击options 后，在prediction of new observation中给出自变量x 的值300, 就可以得到y 的0.95预测区间为即可得到过原点的回归直线为

（4）若想要拟合不带截距的过原点的回归方程，只要在options 中在Fitintercept 选项中不选，

，此时检验的P 值为0.000, 因此在显著性水平