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一、解答题

1． 设f , g 在

上可积, a n , b n 和

分别表示f 和g 的傅里叶系数, 则

【答案】写出f+g和f －g 的巴塞伐尔等式:

将上两式相减可得结论.

2． 计算下列积分:

【答案】（1）令x=1—t , 则dx=—dt , 代入原积分, 有

所以

（用了欧拉积分

故

（2）

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）

对上式右端第一个积分作变换:x=1+t, 则

于是有

3． 设在区间

【答案】

在

上具有连续二阶导数, 又设内至少有一个点

使

则

由泰勒公式有

其中在0与x 之间

.

而

4． 求下列均匀密度的平面薄板质心:（1）半椭圆的等腰梯形.

【答案】（1）设质心位置在

, 由对称性

,

（2）设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为

图

其中

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由介值定理, 至少有一点

使

（2）高为h , 底分别为a 和b

. , 由对称性,

5． 设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm, 高h=40cm, 若R , r , h 分别增加3 mm, 4 mm, 2 mm. 求此圆台体积变化的近似值.

【答案】圆台体积将R = 30, r=20, h=40及 6．

从而

代入上式得

为R 中的开集

，（1）对每个（2）

试证:

【答案】首先证明因

的x 存在关于

存在.

使得

根据条件（2）

令

当

时，有

取极限，根据条件（1）可得

）

.

将x 固定，由条件（1）

于是由②式知

使得

时证毕.

②

；根据柯西准则，知

存在. 即等

式①左端极限存在，记之为A.

其次，（证明

由

利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得

（为开集），所以

2

为上的函数，且

中的y 一致连续.

①

二、证明题

7． 设f （X ）在

上n+1阶导数且. 由微分中值定理

求证:

..

【答案】将f （a+h）在a 点作带有佩亚诺型余项的泰勒展开

对

在a 点作同样的展开, 有

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及