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一、证明题

1． 设

和

为正项级数，且存在正数收敛，则级数

时

，

对一切

证明:若级数【答案】由题意

也收敛；若，从而

又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则， 若级数

收敛，则级数

也收敛；若

发散，则

发散.

2． 设f n （x ）是[0, 1]上连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ），

证明：[0, 1]上连续，从而

故本题等价于证明

因为f n （x ）在[0, 1]上一致收敛于f （x ）, 所以对任意的从而对任意的n ＞N 有

即

3． 设

【答案】

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，有

发散，则

也发散.

.]

【答案】因为f n （x ）是[0, 1]上的连续函数，且在[0, 1]上一致收敛于f （x ），所以f （x ）在

，存在N ＞0使得

. 从而结论得证.

，c 为常数

，

，证明:

所以

4． 分别用确界原理及区间套定理证明:若f （x ）在[0, 1]上单调递增, 且f （0）>0, f （1）<1,

则记间套

,

若在分点处有g （x ）=0, 则结论成立, 否则g （x ）在每个区间由区间套定理, 存在唯一的

, 往证

的端点处函数值异号,

, 使得, 则

.

, 则S 是非空有界数集.

, 则g （0）<0, g （1）>0.利用二等分法构造区

,

往证

（反证法）.

【答案】（1）利用确界原理证明:构造数集, （2）利用区间套定理证明:

设

二、解答题

5． 求积分

【答案】而

所以

又因为

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6． 求下列由参量方程所确定的导数

（1）（2）【答案】（1）故

当（2

）故

7． 将函数

展开为傅氏级数, 并求级数

, 且

即得

由封闭性公式, 有

由此解得

8．

【答案】原式=

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处 处

时,

的和.

【答案】因为f （x ）是偶函数, 所以