2018年郑州大学联合培养单位周口师范学院655数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f （x ）在[0, 1]上可导, 且f （0）=0, 对
【答案】
,
由于f （x ）在[0, 1]上连续, 从而f （x ）在[0, 1]上有界, 即于是已知
2．
设连续函数列明
:
均有值,
取
因此有又函数g （x ）
在上一致连续, 所以
又注意到
上连续, 所以g （x ）在[﹣M , M]上也连续, 因而g （x ）在[﹣M , M]
当
时, 有
当n>N时,
,
这说明
, 有
在[a, b]上一
【答案】因为
有
,
故当
时有f （X ）=0
卿f （1）=0.从而
有f （x ）=0.
上连续, 证
时,
因为f （x ）在点x=l左连续, 所以
有
有
, 则
在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 而g （x
）在在[a, b]上一致收敛于f （x ）, 所以, 存在N 1, 当即
I
又因为
在[a, b]上一致收敛于g （f （x ））.
和f （x ）在[a, b]上连续, 一定存在最
在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 对上述
因此可得
致收敛于g （f （x ））.
3． 证明级数收敛的充要条件是:任给正数序在某正整数N ，对一切n>N总有
【答案】充分性 任给正数存在正整数N ，对一切n>N，总有
当然对n>m>N的m
有从而
由柯西准则知级数必要性 若级数
收敛.
收敛，由柯西准则知对任给正数存在自然数N 1，当n>n> N1时，
特别地，取N ＞N 1 + 1, 则对任意n>N, 有
4． 证明:对任一多项式p （X ）, —定存在x 1与x 2, 使p （X ）在调.
【答案】设
当n 为偶数时, n-l 为奇数,
此时有时
, 严格递增.
当n 为奇数时, n-l 为偶数,
则时
,
令
, 则p （x
）在
与
, 故
存在
, 使得
当
内分别严格递增.
, 当
时
,
于是, 在
, 则
不妨设
故存在
内p （x ）严格递减, 在
与
内分别严格单
,
使得当内p （x ）
二、解答题
5． 设f 为R 上连续函数, 常数
. 记
证明:f 在R 上连续. 【答案】（1）证法一, 因为
而f （x ）、c 连续, 由连续函数的代数运算知, F （x ）在R 上连续. （2）证法二, 设
则u （x ）处处连续, 又因为f （x ）连续, 由连续函数的运算法则知, 复合函数也是连续的.
（3）证法三, 直接用连续函数的定义证明. 设当
.
当
时,
且
所以
若F （x ）=C, 则
时,
设
, 由F （x
）的定义知
. 当
时, 显然F （x ）在连续.
, 因为f （x ）在x 0连续,
所以
若因此当对
, 则F （x ） =f（x ）, 所以
时, 总有
同样可得, 故F （x ）在x 0连续.
, 求从球内出发通过上半球面
的磁通量.
6． 设磁场强度为
【答案】设磁通量为, 则
由轮换对称性, 并利用球坐标变换, 有
故
7． 求方程
【答案】令
恰有三个实根的条件. , 如图所示
.
图
由图可见, 当
8． 求下列函数的导数:
（1）
（2）y=y（x ）为可导函数, （3）（4）
存在, y=f（x+y）,
求
, 求y’;
确定, 求
:
, 试用f , f 〃（X ）
;
, 求y’;
, 求y’（0）;
时, 方程
恰有三个实根.
（5）y=y（x ）由关系式y=f（6）（x ）在点x 三阶可导, 且（x ）
以及
表示
若f （x ）存在反函数