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一、解答题

1． 已知函数f 和g 的图像, 试作下列函数的图像;

（1）【答案】 （1

）中,

取二者较高者. （2）中,

取二者较低者. 如图1和图2所示

.

将

与

作在同一坐标系

, 将

与

作在同一坐标系

图1 图 2

2． 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:

（1）心形线（2）双纽线【答案】 （1）

（2）

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3． 试确定函数项级数

【答案】由于

的收敛域, 并讨论该级数的一致收敛性及其和函数的连续性.

所以当

时级数绝对收敛,

当

时级数发散, 当

时, 因为

因而级数发散, 于是级数的收敛域为（-1, 1）. 设

, 当

, 求证f （x ）在（-1, 1）内连续. 时有

由根式判别法知

收敛, 所以

在

f x ）上一致收敛, 从而（在[-S, S]

内非一致收敛.

, 则

即

在（-1, 1）内不一致收敛于0, 所以函数项级数

在（-1, 1）内非一致收敛.

上连续, 由的任意性知f （x ）在（-1, 1）内连续.

事实上, 设

, 取

4． 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数:

（1）只在（2）只在（3）只在【答案】 （1）（2）（3）（4）

不可导;

可导.

仅在原点不可导, 其余点可导, 从而也连续, 从而

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和三点不连续的函数 和二点连续的函数；

上间断的函数；

（4）只在x=0右连续, 而在其他点都不连续的函数.

5． （1）举出一个连续函数, 它仅在已知点

（2）举出一个函数, 它仅在【答案】（1）由于函数

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仅在处不可导, 其他点处可导,

进而

或

或

仅在己知点处处不可导, 不连续, 可知

仅在

仅在点

仅在点不可导.

仅在

, 处可导, 其他点

处不可导, 其余点可导, 依此进行, 可得函数

（2）由于狄利克雷函数

处可导且导数为0, 其他点不可导, 进而不可导, 依此进行, 可得函数利克雷函数.

6． 设函数, 的周期为

, 且

处可导, 其中D （x ）为狄

试利用, 的傅里叶展开计算的和数.

【答案】傅里叶系数

由于f （x ）在

上连续, 由收敛定理知对

在端点x=0和令 7． 设

【答案】二元函数

与

求F （x ）.

存在k>0, 使在矩形区域

在[﹣k , k]上可微, 且

8． 计算曲面积分

S 是闭曲面

【答案】由高斯公式, 可得

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, 有

处, 其傅里叶级数收敛于

, 有

, 故

.

上连续, x 与x 均为可微函数. 则函数

2

, 方向取外侧.