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一、解答题

1． 求

【答案】由上的最值问题.

令当当

2． 将函数

或或

即即

, 则

或时, z=f （x , y ）取最大值或

时, z 取最小值

.

, 最小值为

.

;

在区域D

上的最大值和最小值.

=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）

将其与f （0, 0） =0进行比较知, 所求函数的最大值为

在

上展开成余弦级数.

【答案】将f （x ）作周期性偶延拓, 得一周期为的连续偶函数

.

所以由收敛定理可得在上

3． 函数

在上的拉格朗日中值公式为

求当

时的极限值.

其中且

是与

及x 有关的量, 对

【答案】

解得

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由洛必达法则

由

4．

求出椭球

在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.

切平面在坐标轴上的截距分别为:

则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为

故本题是求函数

在条件设令

下的最小值.

【答案】由几何学知

, 最小体积存在. 椭球面上任一点（

x , y ,

z ）处的切平面方程为

解得

故

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5．

计算线积分

【答案】记S 是平面位法向量

其中C 为球面被球面

与平面的交线,

从Ox 轴正向看去, C 是依反时针方向进行的.

所截下的那部分, 取上侧, 即取平面的单

由斯托克斯公式得

6． 若f （x , y

）为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则

【答案】由题设存在使得对一切又

且连续, 所以

7． 讨论下列问题:

（1）f （X ）, g （x ）在点

x=0的可导性,

其中

（

2）（3）微的点.

【答案】 （1）因为

故由于

故

,

, . , 有

令

.

, 由连续函数的局部保号性知:

故

的可导性

, 其中

则f （x ）在点x=0可微, 但在x=0的任何一个邻域内有不可

不存在.