2018年东北电力大学理学院731数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若f 在[a, b]上可积, 在则有
【答案】设点的任何取法, 只要
则由定积分定义, 对任给的
, 就有
由f （x ）在[a, b]上可积知, f （x ）在结论显
然成立.
现设定理知且
时, 恒有
对
于
上的任何分割
‘上对
令
, 则得
用拉格朗日中值定理, 得
的一个分割. 从而当
时（此时
满足
且
故
即
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上严格单调且在上可积, ,
. , 使得对[a, b]的任何分割及分
上有界. 设. 如果M=0, 则f （x ）=0, 此时
,
由于
在上连续, 又由于
在
在上可积, 故有界, 又由导函数的达布
,
使得当
没有第一类间断点,
故
上连续. 从而一致连续, 故存在
及任意分
点,
在
, 且
）, 有
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2． 按柯西收敛准则叙述数列
（1）
【答案】数列
使得
（1）取故数列（2）取
（2
）
. 对任意的正整数N , 取
发散.
对任意的正整数N , 取
则有
并且
故数列（
3）取故数列 3． 求证:
在
上一致收敛. ,
可得
又方法二
:记情形.
又
, 故
是函数
的最大值点. 因此
4
．
设
在
上单调增加,
不成立, 那么显然则对
存在
使得
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发散的充要条件
, 并用它证明下列数列{u}是发散的:
（3）
对任意的正整数N , 都存在正整数
则有
并且
发散的充要条件
是:存在
发散.
对任意的正整数N , 取发散.
则有
【答案】方法一:由
收敛, 由M 判别法即得原级数在
, 先求函数
上一致收敛.
的
的最大值, 由于知u n （x ）为奇函数, 只需讨论
证明:
.
显然M 是非空的, 下证
【答案】设用反证法, 假设不妨设
是连续函数, 则对于任意的
由于
与单调性矛盾, 因此假设不成立.
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于是即证得
5． 利用级数收敛的必要条件，证明下列等式:
（1）
（
2）
考察正项级数
的收敛性，因为
所以（2）设
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
考察正项级数
的收敛性，因为
所以
从而级数
收敛. 由级数收敛的必要条件知
6．
证明定理及其推论.
【答案】用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体
设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于
上任一点, 在
上有
按下标j 与k 相加, 则有
及
由于f （x , y , z ）在
V 上可积, 当上可积, 且
时, 上式两端的极限存在且相等, 这说明I （x ）在[a,
b]
【答案】 （1）设
二、解答题
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． 设函数u=f（x
, y ）在
【答案】首先证明若对上任意两点所以由
.
对x 的任意性, 知
）与x 无关, 即
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上有
在
, 试求u 关于x , y 的函数式. 上连续
, 则
.
由中值定理