2017年宁波大学高等数学(含高等代数、解析几何、数学分析)(同等学力加试科目)之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列函数的导数：
【答案】
2． 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数。
【答案】
是此函数的第二类间断点，但它有原函数
另外，狄利克雷函数
3． 讨论下列函数的连续性：
【答案】(1) 函数上连续. 事实上，当故断.
(2)
设
充分小时，对任意
的
故f 在D 上连续.
(3) 因为所以又在 在(4) 因为当
时，
从而故(5)
设
在点
则
所以
在点(0, 0) 处连续，又在；
处连续，因此，，在整个平面上连续.
的点
处
.
在点
从而
连续.
上连续，又在任意点
处间断，故，仅在D 上连续.
的点(X ，y ) 处，由于f (x ，y ) 是初等函数且在这些点处有定义，故f (x ，y ) 连续. 因此
，
且就
有
则存在
使.
从
而上处处不连续.
于是当可
见
在
时，由
在
连续知
处连续，可见f 在D 上连续，又f 在
上无定义，因而在
上处处间
在集合：
其定义域R 上每一点都是第二类间断点，但
无原函数。
(i )
当为有理数时，
(ii )
当为无理数时，
于是所以(6)
在且
故
从而函数(7)
直线
以外的任意点
因此f 仅在的.
(8) 因为知函数
4． 设
(1) 试求以(2) 计算【答案】(1) 因所以
在其定义域
在其定义域D 上连续.
其中
为自变量的反函数组；
所以
上连续
关于u 是连续的，由复合函数的连续性
在点(0, 0) 处也连续，因此f 在及
上连续，即在直线
以外的点，函数
是连续
上连续.
的不连续点，对于上述直线
上的点均为函数
仅在
的点处，由于
当且仅当上连续。
是初等函数且有定义. 故
连续. 又因为
时成立.
5． 设f (x , y) 在
【答案】由已知
在
上连续，且恒取正值，试求
上存在最小值m 与最大值M , 使
又因