2017年山东大学(威海)数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求极限
【答案】由可得
于是，
原极限
2． 求曲面az=xy包含在圆柱
【答案】设曲面面积为S. 由于
所以
其中D 为
应用广义极坐标变换，
3． 设
(1) 幂级数(2) 数项级数【答案】(1) (2
) 考虑幂级数
因
故该幂级数收敛半径为
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内那部分的面积.
为等差数列的收敛半径； 的和数.
试求：
所以收敛半径
且收敛域为
设
从而
令
可得
，所以
4．
【答案】利用定积分的定义求解
.
5． 求螺旋面
【答案】由于为
6． 求抛物体匀棒的重心. 所
以
求转动惯量时，把抛物体看成由曲线
绕z 轴旋转而得，如图所示：
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的面积.
所以曲面积
的重心和绕z 轴的转动惯量（已知抛物体的密度为1）.
把相应的体积微元的质量：
看成求质量不均
【答案】取自变量微元
图
取自变量微元
则相应的面积微元为
, 它是如图中的区域A ，把区域A
绕
轴旋转而得的体积微元的质量为于是
从而转动惯量微元为
二、证明题
7． 设
在
上二阶连续可微，对于任何
证明:无穷积分【答案】因为有
所以存在
由于
因此
有
由泰勒定理，存在可得.
有
所以
由于
8． 证明不等式
【答案】由于
在.
恒大于0,
令，
显然
在
上连续.
收敛，根据比较原则
，
收敛. 所以
收敛.
收敛.
所以对任意充分大的正数
存在
当
时，
且
证原不等式可转化为证由于
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