2017年内蒙古工业大学数学综合之数学分析复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 计算第二型曲面积
分
的表面并取外侧为正向，
【答案】设平行六面体在
平面上的投影区域分别为
其中S 是平行六面
体
为S 上的连续函数。 则有
2．
把
其中f (u ) 为连续函数.
【答案】令
则
由于
所以
3． 设
【答案】记
则，
试证：当
时，显然
在
上的
重积分
化为单重积分，
上连续，所以可在积分号下求导，即
令
从
当x = 0时
，
则
(C 为常数) ，
所以
第 2 页，共 17 页
故
因此，
当
时，
4． 设S
是椭圆面
为点
的上半部分，
点到平面的距离，求
为S 在点P 的切平面
，
【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为
由此易知
由S 的方程
有，
于是
其中
是S 在
平面上的投影.
作极坐标变换容易求出：
5． 求极限
【答案】由等价无穷小替换及洛必达法则得
原式
6． 计算积分
【答案】因为
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所以
而
一致收敛，因此
二、证明题
7． 用柯西收敛准则证明
:
【答案】当n 适当大时，对任意的自然数p ，有
当
时，
为自然数，都有
由柯西收敛准则，
8． 证明对黎曼函数
收敛. 有
(当
或1时，考虑单侧极限) 收敛.
【答案】[0, 1]上的黎曼函数的定义为
对于任意的
满足不等式
的正整数q 只有有限个. 设
使得
则
当
(
若
故
9． 设
其中f 为可微函数，证明：
【答案】设
则
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为既约真分数，则
取
若
，使得则
当
因而P 也只有有限个. 于是在(0, 1)
内只有有限多个既约真分数
内不含这有限个既约真分数. 则
当) 时，有
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