2017年曲阜师范大学统计学院850高等代数A考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 是实对称矩阵. 证明：
（1）存在正实数
（2）存在正实数【答案】（1）设
使得
则
是正定矩阵.
的k 阶顺序主子式
注意
到由维列向量
2． 设
是n 维欧几里得空间乂的8个单位正交向量组，
（1）证明w 是V 的欧几里得空间的子空间. （2）求W 的基和维数. （3）求w 的正交补.
【答案】（1）显然W 是V 的非空子集，有
（2）在W 中取向量组
注意到
故W 是V 的欧几里得空间的子空间. 因为
是实多项式函数
，
则
正定，则
时，
正定，于是
则存
在
故正定，取
使得
于是
正定.
正定.
正定，对于任意的n
即
当
时
，
取
使得对于任意的n 维列向量，都有
（2）因为A , —A 实对称，由（1）知存在充分大的
注意到可以为0, 都有
由上式右侧矩阵的秩为
其中
所以（3）将
因为
因为
所以线性无关.
故
扩充成V 的标准正交基
是W 的基，其维数为显然
所以
因为
线性无关，故
3． 求下列方程的最小二乘
令
用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此列出方程并求解. （用三位有效数字计算）.
【答案】设系数矩阵的两列向量分别为
即
又令
求X
使
最小，即求Y 使Y -B 垂直于子空
间也即
. 或
计算即得
解得
4． 证明：
【答案】在展开式中，对每项应用
再合并成n 个行列式.
5． 设
（1）A 能否对角化？（2）求B 的行列式. 【答案】（1）由
得A 的特征值为全部的n 次单位根（2）注意到
它们互不相同，故A 可以对角化。