2017年曲阜师范大学统计学院850高等代数A考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
为两个不全为零的多项式，n 为正整数. 证明：
【答案】①若则显然 _反之，
设
从而
这与
②证法I 设则
于是由①知
且令
因此
证法II 设f , g的次数都大于零，且
其中令
2． 设
为首系数是1的不可约多项式，则
为非负整数. 于是得
，于是由（3）（4）得且
与
为任意数且
时与sinx 有相同的值；
称多项式
从而由（2）得
矛盾.
下
证
若不然，则必有不可约多项
式
为互异数，又
为拉格朗日插值公式（显然
①求一个次数
的多项式f （x ）使
②求一个2次多项式f （x ）使它在
③求一个次数尽可能低的多项式f （x ）满足：【答案】由上题知：
①取n=4, 并将
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代人（14）, 便得所求多项式为
②取n=3, 并将多项式
为：
③取n=4, 并将这也
是满足条件的最低次的多项式，因为易知任何
3． 设个为奇数，则
无有理根.
的有理根，其中
则可设
其中由偶数，矛
盾. 4． 设
是欧氏空间V 的某
的度量阵为
（1）求W 的标准正交基. （2）求的维数和一组基. 【答案】（1）因为组基.
先正交化. 取
因为
与
线性无关，
所以
为W 的一
刑
为奇数，则u , v为奇数，于是
为偶数，从而
皆为
【答案】反证法. 设
是整系数多项式，若
都不能有为奇数，且
至少一
，便得代入（14）
，便得所求代入（14）
所以
再单位化得W 的标准正交基
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（2）因为令
则
构成V 的正交基. 因此有
为
矩阵，证明
有唯一解；r （A ） 若AX=B有解，设 于是B 的列向量可以由A 的列向量线性表示，进而（A ，B ）的列向量可以由A 的列向量线性表示，故 . 又 故 ，那么A 的列向量的极大无关组也是A ，B 的列向量的极大无关如果r （A ）=r（A , B ） 组，于是B 的列向量可以用A 的列向量线性表; 设为 故（2）记 ，记全有解. 由r （A ）=r（A , B ）, 贝lj , r （A ）=r（A , ）, j=l, 2, …, S. 当r （A ）=n时， 线性方程组无穷多解，故AX=B有无穷多解. 6． 设A 、B 均为n 阶方阵， 【答案】 第 4 页，共 37 页 所以又显见构成V 的基，且正交. 的一组基. 5． 设A ，X ，B 分别是 （1）矩阵方程AX=B有解（2）在有解的情况下，【答案】（1）记则 是其解， 则C 是矩阵方程AX=B解. 于是AX=B有解的充要条件是：线性方程组 有唯一解，故AX=B有唯一解. 当r （A ）≤n , 有 求
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