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一、填空题

1． 由曲线量为_____。

【答案】

绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点

处指向外侧的单位法向

【解析】根据曲线绕y 轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为

而旋转曲面上任意一点其中故在点

将其单位化，得

2． 设

【答案】

，所以

，则（t 为参数）

=_____.

处曲面指向外侧的法线向量为

处的切平面的法向量为

【解析】由已知条件得，

计算得

3． 设C 是从球面曲线

【答案】【解析】

则

上任一点到球面

_____，其中

上任一点的任一条光滑

。

分别是两球面上的点）。

4． 已知球面的一条直径的两个端点为（2, -3.5）和（4, 1, -3）, 则该球面的方程为_____。

【答案】

【解析】已知球面直径的两个端点，则可根据线段中点的计算公式求得该球面的球心坐标为

即（3, -1, 1）, 又球的半径就是这两个端点间距离的一半，故

即所求球面方程为

5． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;

（2）对常积分

，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。

一定______。

在

上有界是反

（3）绝对收敛的反常积分

6． 设

【答案】的向量积为

【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛

则以

为边的平行四边形的面积为_____。

【解析】由于以两个向量为边的平行四边形的面积，等于这两个向量的向量积的模，则

故以

为边的平行四边形的面积，即为

的向量积的模

7． 设C 为椭圆

【答案】2π 【解析】设T 为圆式，有

的正向，则_____。

的正向，由于，则利用格林公

8． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有

其中f （x ）在【答案】1

【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得

其中

为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧

为连续函数，且对任意的

。因此，当x>0

内具有连续的一阶导数，则

=_____。

面时，上述三重积分前取“-”号。

由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有

9． 若数列

。

收敛，则级数

_____。 ，则

。可知

【答案】收敛 【解析】级数

的部分和数列为