2017年南京工业大学高等数学(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
2． 如果在时刻t 以的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
表示什么？ 【答案】
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
3． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
，
令
，
即。
，即
，故通解为，令，积分得
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，令。
。
，
有
，则原方程为
，即
有
，
（2
）原方程可表示成
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
。
。
，即
。
，有
，则原方程
（3
）原方程可表示为为
，即
将代入上式并整理，得通解
，有
，积分得
, 令
。
（4）原方程可写成令
，即
，则原方程为
，即
。
。
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
将
代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得
4． 已知函数
满足微分方程
即
。
，即，积分得
，有，则原方程成为，即
。令 ，即
，将
且
，即，有。
。
代入上式，得通解
。
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由
得
且
可
即
知
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
函数取得极大值函数取得极小值
得
二、计算题
5． 下列各题中均假定f ’（x 0）存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么:
（1）（2）（3）
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，其中
，且
存在。
【（2）由于
答，故
案】（1
）
（3）
6． 以初速v 0竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是:
（1）该物体的速度v （t ）; （2）该物体达到最高点的时刻。 【答案】（1）
，故
。
，求:
（2）物体达到最高点的时刻v=0，即
7． 求过点（3，0，﹣1）且与平面3x －7y ＋5z －12=0平行的平面方程.
【答案】所求平面与已知平面3x －7y ＋5z －12=0平行. 因此所求平面的法向量可取为n=（3，，设所求平面为 ﹣7，5）
3x －7y ＋5z ＋D=0 将点（3，0，﹣1）代入上式得D=﹣4. 故所求平面方程为 3x －7y ＋5z －4=0
8． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令
, 得
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, 又
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