2017年昆明理工大学F001高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数f （x ）满足方程
（1）求表达式f （x ） （2）求曲线的拐点
【答案】（1）特征方程
为
的通解
为可知
（2）曲线方程为
故则
令
号。
当
时
，
可知
知曲
线
可知
是
可
知
当
时
，
得
为了说明
是
唯一的解，
我们来讨论
在
和
时的符
特征根
为
再
由
齐次微分方
程
得
及
的唯一解，同时，由上述讨论可
在x=0左右两边的凹凸性相反，可知（0，0）点是曲
线
唯一的拐点。
2． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）由
，故
（3）由
得
由
得
，不妨取
注：取
，可得同样结果。
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=5，将x=0，y=5代入函数关系中，得c=-25，即得
，将
及
代入以上两式，得
，将x=0，y=0及
。
代入以上两式，
得
，由①式得，故
3． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
4． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
。
所确定的函数，其中
具有
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
于是所求积分曲线的方程为
【答案】（1）由方程
（2）由（1）可得，
二、计算题
5． 设闭区域D 是由直线x+y=1，x=0，y=0所围成，求证
【答案】
令
依次与
应的闭区域
的边界（图）. 于是
，
，
则
，在此变换下，D 的边
界
对应。. 后者构成
平面上与D 对
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图
又
因此有
6． 设积分
其中试求
为连接点。
与
围成的平面区域D ，且围成D 的正向曲线为L ，则
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的直线段，B 的抛物线段为连接A 、，
【答案】令