2017年曲阜师范大学统计学院850高等代数A考研强化模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
【答案】
2． 设
（2）求
成为对角阵；
所以A 的特征值为
（n 是正整数）.
（1）求正交矩阵P ，使【答案】（1）计算可得当
时，得特征向量
当
时，得特征向量
令
则
（2）由①式有
其中
3． 证明：如果对于某一个6次方程有
【答案】由由牛顿公式
所以
4． 求多项式
在复数域和实数域上的标准分解式.
有n 个复根
故
（2）在实数域范围内
.
又
当n 为奇数时，
恰有一个实根
因而
当n 为偶数时，因而
5． 设
为n 阶正定矩阵. 证明：
有两个实根
故由上题
那么
时公式可得
【答案】（1）在复数范围内
①以下二次型是负定的：
②③
【答案】①令
是A 的n-1阶顺序主子式）且等号成立且等号成立
为对角矩阵. ，则
两边取行列式，得
对二次型f 施行满秩线性代换X=AY，得
但A 是正定的，②由于
等于
从而
正定而
即f 是负定的.
（5）
其中的，因此
为上面第一个行列式. 由于A 正定，故
也正定. 因此由①知，f 是负定
故由（5）得
再由（5）知：当且仅当式成立.
③用
即
时（因为f 负定）以上等
依次表示A 的1，2，…，n-1阶顺序主子式，则由A 正定，
故
均正定. 从而由②得
并由②知，当且仅当
即A 为对角矩阵时以上等号成立.