2017年曲阜师范大学数学科学学院875线性代数与数学分析[专业硕士]之高等代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设约.
【答案】设f （x ）能分解成两个次数均小于3的多项式之积，因存在整数P ,
m ，n ，使
从而有
又因一个奇数，
一个偶数. 所以
为奇数，与
矛盾.
2． 构造一个3阶实对称阵A , 使其特征值为1, 1，-1，并且对应特征值1
有特征向量
【答案】设属于特征值-1的特征向量为已知两个特征向量正交，此即
由此可解得对应于特征值-1的特征向量为
将这些特征向量正交化得
再单位化得
因为A 是实对称阵，所以必与
为奇数，所以c 与
均为奇数，这样由
可知必有P 为奇数，a 与b 中有
且
则
是整系数多项式，证明：若
为奇数，则
在有理数域上不可
令则
故
3． 证明：如果
与因式. 那么
与 4．
设
均为n 维线性空间V 的子空间，
且
是否正确. 说明理由.
【答案】如上结论不正确.
例如，令n=3, 取V 为三维几何空间，显有
为
Oxy
5． 设
且
分别为
面上不共线三向量生成的子空间，
判断
的一个最大公因式.
是与
与
的一个公因式，如果
能整除
是
的一个公
是
能整除
的任一个组合，故
因此，根据定义
【答案】由题设，
且为与的一个组合，那么是
，
的一个最大公因式.
问：【答案】易知当b ≠0且
当b=0时，AX=0与设
于是有基础解系为
当
即
，得
）
时，对A 施行初等行变换（第一行乘-1加至其余各
时
和b 满足何种关系时AX=0只有零解、有非零解？并求其一基础解系.
因此 AX=0只有零解.
同解. 此时（n>l）有无穷多解. 由于
不妨
行，再第2, …，n 行都乘
由此得同解方程组
：一基础解系. 6． 设
且r （A ）=n-l，而为AX=0的
求
【答案】将A 表成
其中可交换，并且
所以
7． 解下面矩阵方程组
其中
【答案】由原方程组可得
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