2018年湖南省培养单位亚热带农业生态研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
2． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B
对应n-1
重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可
知
n 阶矩阵与相似.
3．
已知
与
相似. 试求a
, b ,
c 及可逆矩阵
P ，
使
【答案】由于故B
的特
征值为
从而
B 可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，得
有即a=5.
由
得A
，B 有
相同
特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得：令记
即
有. 因此
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则P
可逆，
且
4．
已知二次型
的秩为2.
求实数
a 的值
；
求正交变换x=Qy使得f
化为标准型.
【答案】⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为：当
时，解
得对应的特征向量为
当时，解得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为：
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