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一、计算题

1． 设X 与Y 相互独立, 分别服从参数为

【答案】因为

, 所以

这说明:

服从二项分布b （n , p ）, 其中

2． 已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism.—书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即中的单词数分别为

求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布

的最大似然估计.

的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即

由于最大似然估计具有不变性，因而

3． 设总体X 服从正态分布量，考虑统计量：

求常数

使得

都是的无偏估计.

即可. 注

意到

我们只需要求出如下期望即可完成本题：

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和的泊松分布, 试求

所以

今从该书中随机地取20个句子，这些句子

的最大似然估计为

为来自总体X 的样本，为了得到标准差的估计

【答案】由期望的公式及对称性，我们只需要求

出

（为什么？）和

设则

于是有

和

从而给出

4． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？

【答案】若检验结果是接受原假设，可能有两种情况：其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误.

若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况：若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误.

5． 设随机变量X 的密度函数为

试求

的数学期望.

【答案】

6． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以

7． 设一批产品中一、二、三等品各占60%，35%，5%.从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率.

【答案】记事件A 为“取出一件不是三等品”，B 为“取出一件一等品”，因为A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”

所以AB=B，于是所求概率为

8． （1）某种岩石中的一种元素的含量在25个样本中为：

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有人认为该样本来自对数正态分布总体，请设法用w 检验方法作检验（【答案】（1）首先应对数据进行对数变换. 记在下表中，

由此可算得

表

）.

）.

（2）对（1）题的数据，试用EP 检验方法检验这些数据是否来自正态总体（取

则25个y 的观测值可算出，我们把它列

从上表中可以计算出W 的值：

当n=25时，查表知故在显著性水平

拒绝域为

由于样本观测值没有落入拒绝域内，

上不拒绝原假设，即可以认为样本来自对数正态分布.

在附表11中通过线性插值得到n=25时的0.95

分位数约为

计算得到的

小于该临界值，因此在显著性水平

（2）该问题可按计算TEP 的框图用任一种软件编程计算，这里用SAS

软件编程算得

若取显著性水平

0.05下接受这些数据是来自正态总体的.

9． 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），试求以下Y 的密度函数：

（1）【答案】（1）

. ；（2

）

所以当

时，Y 的密度函数为

对上式两端关于y 求导得

所以Y 的密度函数为

这个分布被称为半正态分布. （2

）

的可能取值范围为

所以当

时，Y 的密度函数为

当

y>l时，Y 的分布函数为

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的可能取值范围为

当y>0时，Y 的分布函数为