2017年哈尔滨理工大学应用科学学院823高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
故选B.
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 3． 设
是
的一个特解，所以选C.
则3条直线
（其中
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由线性表出.
4． 设向量组
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组线性无关.
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，分别为A ，B 的伴随矩阵，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
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线性无关.
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
二、分析计算题
6． 求齐次线性方程组
的解空间（作为欧氏空间
的子空间）的一标准正交基.
【答案】易知方程组系数矩阵的秩是2, 从而有三个自由未知量，解空间是三维的.
取
作为自由未知量，可得一基础解系（即解空间的一基）
：
将
此基正交化，可得解空间正交基：
再标准化，可得解空间一标准正交基：
7． 证明：以下两个变换都是的线性变换：
再求T+S, TS与ST.
【答案】T , S都是的变换显然. 再由于
故T 是
的一个线性变换.
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