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一、计算题

1． 对泊松分布P （θ），

（1）求

（2）找一个函数g （•），使g （θ）的费希尔信息量与θ无关. 【答案】⑴（2）所以，

令

（其中为任意常数）.

，（其中c 为大于0的任意常数）则

2． 一个电子设备含有两个主要元件, 分别以X 和Y 表示这两个主要元件的寿命（单位:h ）. 若设其联合分布函数为

试求这两个元件的寿命都超过120h 的概率. 【答案】所求概率为

这表明:两个主要元件的寿命都超过

的概率为0.0907.

：为X 的一个样本，求

3． 设总体X 服从二项分布B （m , p ），其中m ，p 为未知参数，m 与p 的矩估计.

【答案】因为有两个未知参数，所以要用1，2阶原点矩. 由二项分布可知

解方程组

将第一式代入第二式，有：

所以

用

分别代入上式的

得

代入第一式，得

因为m 为正整数，故

其中[]表示取整数.

4． 设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为

试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？

【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.

5． 己知

【答案】由条件概率的定义知

其中

再由

可得

6． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.

【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为10! ，这是分母. 若把指定的四本书看作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有7! 种可能放法，这是第一步，第二步再考虑将4! 种可能放法，这是分子，于是所求这指定的四本书作全排列，共有4! 种可能放法. 故总共有7!×概率为

7． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.

代回原式，可得

根的概率是多少？

【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率

先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有

个样本点.

个，因此

事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有

所求概率为

譬如，取

可算得

8． 甲、乙两人独立地各进行两次射击, 假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数, 试求

【答案】因为当

时, 有

所以（X , Y ）的联合分布列为

表

由此得

二、证明题

9． 设

【答案】一方面

另一方面

10．设

【答案】由

服从均匀分布

可知

试证

及

都是的无偏估计量，哪个更有效？

的密度函数分别为

证明：