当前位置:问答库>考研试题

2017年合肥工业大学数学学院808高等代数考研题库

  摘要

一、选择题

1. 设A 为4×3矩阵,常数,则

是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解,

为任意

的通解为( )

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系. 考虑到 2.

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

这时f (l ,1,1)=0,即f 不是正定的. 从而否定A ,B ,C. 方法2

所以当方法3 设

时,f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ,则

第 2 页,共 40 页

是非齐次线性方程

组,所以有解矛盾)

的三个线性无关的解,所

以从而

的一个

是对应齐次线性方程组(否则与是

的两个线性无关的解.

的一个特解,所以选C.

则当( )时,此时二次型为正定二

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时,A 的3个顺序主子式都大于0,则,为正定二次型,故选(D ).

所以f 为正定的.

3. 下面哪一种变换是线性变换( )

.

【答案】C

【解析】

,而

不一定是线性变换,

比如

不是惟一的.

.

也不是线性变换,

比如给

4. 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有( ).

A.A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于

又由方法2:设考虑到

不妨设线性相关.

由已知及以上证明知B ’的列线性相关,即B 的行向量组线性相关.

由于AB=0, 所以有

即r (A )>0, r (B )>0, 所以有

R (A )

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

第 3 页,共 40 页

并记A 各列依次为

由于AB=0可推得AB 的第一列

从而

5. 设

为空间的两组基,且

则( )•

【答案】(C ) 【解析】令将①代入④得

由②有

二、分析计算题

6. 求一个3阶实对称矩阵A , 使其特征值

正交,得方程组

解之,取基础解系

于是

为所求.

7. 设V 表示数域P 上2级矩阵全体所构成的线性空间,定义V 的一个变换如下:

(1)证明:是线性变换;(2)求在基

下的矩阵;

其中

为的转置.

由实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量

【答案】设A 的属于的特征向量为

并且对应特征值1有特征向

(3)求的值域A V ,给出它的维数及一组基; (4)求的核N , 给出N 的维数及一组基. 【答案】(1)令

第 4 页,共 40 页