2017年合肥工业大学数学学院808高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1. 设A 为4×3矩阵,常数,则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解,
为任意
的通解为( )
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系. 考虑到 2.
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f (l ,1,1)=0,即f 不是正定的. 从而否定A ,B ,C. 方法2
所以当方法3 设
时,f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ,则
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是非齐次线性方程
组,所以有解矛盾)
的三个线性无关的解,所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组(否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解,所以选C.
则当( )时,此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时,A 的3个顺序主子式都大于0,则,为正定二次型,故选(D ).
所以f 为正定的.
3. 下面哪一种变换是线性变换( )
.
【答案】C
【解析】
,而
不一定是线性变换,
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换,
比如给
4. 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有( ).
A.A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关,即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r (A )>0, r (B )>0, 所以有
R (A ) 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 第 3 页,共 40 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 5. 设 又 为空间的两组基,且 则( )• 【答案】(C ) 【解析】令将①代入④得 即 由②有 二、分析计算题 6. 求一个3阶实对称矩阵A , 使其特征值 为 正交,得方程组 解之,取基础解系 令 则 于是 为所求. 7. 设V 表示数域P 上2级矩阵全体所构成的线性空间,定义V 的一个变换如下: (1)证明:是线性变换;(2)求在基 下的矩阵; 其中 为的转置. 由实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量 【答案】设A 的属于的特征向量为 并且对应特征值1有特征向 量 (3)求的值域A V ,给出它的维数及一组基; (4)求的核N , 给出N 的维数及一组基. 【答案】(1)令 第 4 页,共 40 页
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