2017年河南大学数学与统计学院823专业基础课(高等代数)考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
【答案】B 【解析】
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
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4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则分块矩 且 所以 ， 二、分析计算题 第 3 页，共 46 页 6． 已知矩阵 问a ，b 为何值时，A 与B 相似，并求可逆矩阵P 使得【答案】若 则 于是得方程组 解得当 时，由 故A 的特征值为解方程组 取基础解系 令 7． 在P[x]中 【答案】 故 8． 设T 是W 维空间V 的一个线性变换. 证明： ①若非零子空间W 对T 不变，则可选择V 的基，使T 在此基下的矩阵呈下形： ②T 在某基下的矩阵为对角矩阵【答案】①设W 维于W 对T 不变，从而 且 V 可表为n 个一维不变子空间的直和. 为其一基. 再扩充为V 的一基，设为 均属于W ，从而可由 第 4 页，共 46 页 . 取基础解系 则 且 证明： 解方程组 由 线性表示，设为 再设
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