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一、计算题

1． 掷一枚不均匀硬币，一直掷到正、反面都出现为止. 记出现正面的概率为平均抛掷次数.

【答案】记X 为直到正、反面都出现时的抛掷次数，则X 可取值2, 3, …，且有

可以验证:这是一个分布列. 由此得X 的数学期望为

从上式中可以看出:p=0.9与p=0.1时的平均抛掷次数是一样的，都为91/9; p=0.8与p=0.2时的平均抛掷次数是一样的，都为21/4; 而p 越接近于0.5时，

越小；若p=0.5, 即掷一枚均匀硬

币，则直至正、反面都出现的平均抛掷次数是3.

2．

某产品的合格品率为问包装箱中应该装多少个此种产品，才能有至少有100个合格产品.

【答案】设包装箱中装有n 个产品，其中合格品数记为X ，则有

成立. 利用二项分布的正态近似，可得

查表可得

由此解得

即每箱装有104个产品，能有

的可能性使每箱中至少有100个合格

下求n ，使

，试求

的可能性使每箱中

产品.

3． 设随机变量X 服从二项分布b （n , p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与封度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有. 而当k ≥ 1时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩:

（4）最后计算偏度与峰度

由此可见:二项分布在p=l/2时是对称分布；当pl/2时，二项分布负偏

.

更细致的讨论会发现:①在区间

布比标准正态分布更平坦，譬如在p=0.5时，分布更乎坦；②在区间正态分布更尖峭.

外

，

内，

此时二项分

此时二项分布是对称的，且比标准正态

，此时二项分布比标准

4． 设为独立分布同分布变量，，

（1）求

的（2）求的矩估计

，并问是否是无偏的； ；

（3）计算的无偏估计的方差的C-R 下界. 【答案】（1）的密度函数可表示为

因此，相应的对数似然函数为

关于求导并令其为0, 可得，

解之有

注意到，有

其中