2017年华南理工大学数学学院625数学分析之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 是定义在R 上的函数，且对任何证明对任何
都有
于是或
者
矛盾. 所以
对任意
得
或
者
有
2． 设
于
【答案】显然，由题设知
所以对一切n 都有
于是，当
即
递减，并且0是
的一个下界
.
即存在.
设
递增. 由
知
，
是在
得
所以
3． 设
和在点
的某邻域内存在 有：
即有
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都有若
即
若
则
这与题
设
【答案】
由
记证明：数列
时，
与的极限都存在且等
的一个上界. 由单调有界定理知，的两边同时取极限，
得到
对
的极限都即a=b，
又由
两边取极限
得
在点连续，证明则
也存在，且
的邻域可微，从而由微分
【答案】对于固定的
与
令中值定理，
于是有
故
.
4． 证明：函数
存在，且命题得证.
为常数) 满足拉普拉斯方程：
【答案】因为
所以
二、解答题
5． 判别下列反常积分的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛？还是条件收敛？
（1）（2）（3）（4）（5）【答案】⑴
易知，当
又因为
而
所以当综上所述，
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时绝对收敛；当
时条件收敛.
时绝对收敛；当
时发散.
当（2）
时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散。
其中
为
的瑕点，因为
与
同阶，所以
收敛，因因为
时有
所以
由泰勒公式得
所以
而
条件收敛，
绝对收敛，故原积分条件收敛.
是
阶无穷小，又
而是瑕点
故原积分仅当
由于
同理，由于时，
，其余均发散. 收敛（绝对收敛）（5）由于
故积分
收敛（绝对收敛）.
一致收敛：
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为绝对收敛.
对积分
（3）易知，当时，被积函数关于
时收敛（绝对收敛）
.
所以当
所以当
时收敛，当时发散.
时发散，故当
时收敛，当
6． 试问k 为何值时，下列函数列
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