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一、计算题

1． 图（a ）所示振动系统中各杆刚度E1为常数，CD 杆中点处固定了一个集中质量m 。（1）试求出其自振频率（各杆自身的质量及杆的轴向变形忽略不计）。（2）如果将CD 杆换成一根抗弯刚度无穷大，且具有均匀分布质量密度的杆，如图（b ）所示，试列出系统自由振动微分方程，并求出其自振频率（其他杆自身的质量忽略不计）。

图

【答案】（1）在质量处加一竖向单位力，画出弯矩图如图（c ）所示。求柔度系数：

自振频率：

其任意时刻

（2）由于CD 杆为分布质量，其惯性力为三角形分布力，假设CD 杆的转角为图（f ）中，先用力矩分配法或位移法画出C 点单位位移引起的弯矩图，再求出最后在图（e ）中对D 点列力矩平衡方程：

方程整理后即为振动微分方程：

的惯性力和位移图见图（d ）。原结构可以化为图（e ），其中的弹簧刚度系数按图（f ）求得。

2． 根据下图所示结构弯矩图，画出相应的荷载形式。

M 图 图

【答案】在铰接的位置弯矩不为0, 可知必然有集中弯矩作用。左半部分弯矩图为二次曲线，推断其受均布荷载作用；右边有附属结构，且弯矩在铰接位置出现尖端，因此铰接点有集中力作用，且在铰点左右端各有弯矩作用。则相应荷载形式如下：

图

3． 求出图所示梁的整体刚度方程。

图

【答案】单元1和单元2的单元刚度矩阵是相同的，即

则整体刚度矩阵为：

整体方程：引入约束条件，1节点没有位移，因此整体刚度矩阵为：

4． 已知

：

求

图1

【答案】（1）本题采用能量法进行求解. 由位移的方程可求得：

则系统的能量为：

（2）为了方便研宄，将图示结构翻转，建立如图2所示的方程体系：