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一、证明题

1． 证明曲线

【答案】设

上任一点的法线到原点距离等于a.

所对应的点为

. , 则

法线斜率为

化简得 2． 设

【答案】由上确界定义, 对

证明:存在

使使

又由

由迫敛性得

3． 证明函数

【答案】因为

（x ）

在[0, 1]上的不连续点是故可积.

因此, 存在现设

设

于是有, 使对

的任何分法, 只要

是, 又显然有

所以f （x ）在[0, 1]上可积.

的满足1

就有

的任意分割.

因此,

.

. 任给

f x ）, 由于（在

上只有有限个间断点,

在[0, 1]上可积.

, 所以f （x ）在[0, 1]上有界, 且在[0, 1]

的任何部分区间上的振幅

成立

, 所以过点

的法线方程为

. 原点（0, 0）到法线的距离

二、解答题

4． 将函数

在【答案】

故f （x ）在

的傅里叶级数为

由收敛定理知, 它收敛于

上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.

5． 设K>0, 试问k 为何值时, 方程

【答案】令如果方程则存在

如果

使得, 则

其中K>0.则存在正实根

即

存在正实根.

, 于是

反之,

根据罗尔中值定理,

于是因为在区间使得

,

即方程

, 因而存在

, 所以存在

上应用连续函数根的存在定理可得, 存在

, 使得

, 使得

,

, 由此得

有正实根. 综上所述, 原方程存在正实根,

当且仅当

6． 计算曲线积分, 其中L 是曲线

从z 轴的正向往负向看去L 的方向是顺时针方向. 【答案】方法一（用参数方程求解）令

故

方法二:（用斯托克斯公式求解）设S 为平面x －y+z=2上以L 为边界的有限部分, 其法向量与z 轴正向的夹角为钝角. 则

由斯托克斯公式可得

其中

7． 求曲线

,

.

所围平面图形（图）绕x 轴旋转所得立体的体积

. 为S 在xy 平面的投影域, 即D xy

:

. 记

,

. 则

图

【答案】

8． 计算第二型曲线积分

（1）L :

沿逆时针方向;