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一、选择题

1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

2． 设向量组

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

.

则

也不是线性变换，

比如给

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

因为所以向量组

3． 设线性方程组的解都是线性方程组

【答案】（C ） 【解析】设即证秩

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线性无关.

线性无关. 的解，则（ ）。

则

所以

的解空间分别为

4． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

则当（ ）时，此时二次型为正定二

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 5． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1 秩

未知量个数，

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

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所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 设n 组方阵A

在复数域上全部特征值为

的全部特征值为

【答案】由若当定理，存在可逆阵T 使

再由

设

则

即知

7． 设m ，n 为正整数且

又

计算以下n 阶行列式

的全部特征值为

注此结果也称为许尔定理.

【答案】根据组合公式行，得

故可从D 的第n 行开始，由下而上，每行都减上一

再对第行如法炮制，如此继续下去，即得一个主对角线上元素全为（即1）

的上三角形行列式，因此，D=l.

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