2017年沈阳工业大学F519概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为：
拒绝域为由已知条件因为著差异.
注：这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差s. 由于与s 是正态分布
的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与s 的值，等价
于给出具体的样本数据. 这一现象会在很多场合里出现.
2． 试求以下二维均匀分布的边际分布:
【答案】因为在
时, 有
所以X 的边际密度函数为
又因为
在
时, 有
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当显著性水平为0.05时，
s=15, 故检验统计量的值为
故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无显
的非零区域内, 当时, 有
所以当
的非零区域内,
当时,
有所以当
所以Y 的边际密度函数为
可见, 这两个随机变量不相互独立.
3． 设总体
现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为
试对参数给出矩估计. 【答案】由于
即
而样本均值
故的矩估计
为
4． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率.
【答案】设事件A 表示“三枚硬币中至少出现一个正面”.若用“0”表示反面，“1”表示正面，其出现是等可能的，则此题所涉及的样本空间含有八个等可能样本点：
由于事件A 含有其中7个样本点，故P （A ）=7/8.
5． 一家有500间客房的大旅馆的每间客房装有一台2千瓦的空调机. 若开房率为80%, 需要多少千瓦的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机.
【答案】记
则
, 由此得
. 设共有k 千瓦的电力可供使用, 根据
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
或
由此查表得
, 从中解得
, 取k=841千瓦即可. 这表明:该旅馆每天需要841
题意可列如下不等式
千瓦电力, 才能以99%的把握保证空调机用电.
6． 设，求
的一个置信水平为【答案】
的置信区间. 则
，
，皆未知，且合样本独立，
，故的分布完全
已知，可作为枢轴量. 下求T 的分布.
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利用商的公式，只是要注意Y 的积分范围. 此处变量取值范围为. 故当而当
时，
时，
，为
由此可写出其分布函数（更加简洁）
对给定的充分小的
由上式不难给出两个分位数，如取
则
于是给出了的一个置信水平为
，
，，即
，
的置信区间为
7． 设取拒绝域为
【答案】
是来自0-1总体b （1，p ）的样本，考虑如下检验问题
，求该检验犯两类错误的概率.
则
，于是犯两类错误的概率分别为
，
8． 设X 服从泊松分布，且已知P （X=l）=P（X=2），求P （X=4）.
【答案】由
得
从中解得X=2，由此得
二、证明题
9． 证：事件A 与B 独立的充要条件是
【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由
，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）
10．设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）
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独立，由此得
即