2017年深圳大学FS56数学综合之概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自如下总体的一个样本
（1）若的先验分布为均匀分布U （0, 1）, 求的后验分布； （2）若的先验分布为【答案】
的联合密度函数为
时，后验分布为
（2）对该先验分布，当
时，后验分布为
2． 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？
【答案】记T 为此种动物的寿命，
由题意知
所以
3． 某厂一种元件平均使用寿命为1200h ，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试验，测得寿命数据如下：
假定元件寿命服从指数分布，取计算样本观测值得到若取由于
则查表知
问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？
故拒绝域为
故拒绝原假设，认为革新后元件的平均寿命有明显提高.
故检验的统计量为
又因为
求的后验分布.
，当（1）对先验分布U （0，1）
【答案】依题意，我们需要检验的一对假设为
4． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求 （1）（2）（3）（4）【答案】⑴（2）（3）（4）
的联合分布函数
要分如下5个区域表不:
的联合分布函数.
5． 设的渐近分布为
是从均匀分布U （0, 5）抽取的样本, 试求样本均值的渐近分布.
【答案】均匀分布U （0, 5）的均值和方差分别为5/2和25/12, 样本容量为25, 因而样本均值
6． 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其密度函数为
试问该油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？
【答案】记X 为该油站每周的销售量，k 为该油站储油罐的最大储油量. 则由题意知：k 应该满足
这等价于
因此由
中解得
（千升）. 所以可取k=46（千升）即可将一周内断油的概率控制在5%以下.
7． 求以下分布的中位数：
（1）区间（a ，b ）上的均匀分布； （2）正态分有（3）对数正态分布【答案】（1）从1（2）记
（3）记则由（2）知
由此得
即
8． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查, 下面是其不完整的频率分布表:
表
由
令X=Iny，
则
中解得
可得又记
为Y 的中位数.
为X 的中位数，
（1）试将频率分布表补充完整；
（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为
（2
）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为250人, 故该公司上班所需时间在半小时以内的人有
人.
该公司有职工
二、证明题
9． 从正态总体
中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不
，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以
故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
其
管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5.
【答案】设的先验分布为中