2018年哈尔滨师范大学数学科学学院630实分析之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若函数u=f（x , y ）满足拉普拉斯方程:
则函数也满足此方程.
【答案】令
则有
同理
由于
故有
同理
将①和②两式相加, 并把上述结果代入整理后得
2． 证明在
上,
【答案】设
, 则
所以
在
上严格单调递增.
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①
②
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所以当时, 有. 即
设
所以于是当
在时, 有,
因为
上严格单调递增.
, 即
故对
3． 设
, 成立
, 求证
:
设
, 则根据微分中值定
【答案】作分割理,
, 使得
其中介于f （x' ）与f （x" ）之间. 因为可积函数一定有界
, 所以可设式得
.
于是由（1）
设与分别表示f （x ）与在上的振幅
, 在公式（2）中, 让x' , x" 在
上
变化, 两边取上确界得到
由此推出
令
限得
因此
4． 证明:反常积分
【答案】因为
在
上一致收敛. 所以有
又因为
收敛, 根据魏尔斯特拉斯判别法可知, 反常积分
在
上一致收敛.
, 因为
, 所以
. 由此, 令
对（3）式取极
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5． [1]设函数f （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可微, 又f （x ）不是线性函数. 证明:使
[2]设f （x ）在[0, 1]上可导, 且内存在一组互不相等的数
使得
.. ,
为n 个正数. 证明在区间[0, 1]
【答案】过点（a , f （a ））与（b , f （b ））的直线方程为
9
=f=f. 由于f , g 显然, g （a ）（a ）（b ）（b ）（x ）不是线性函数, 故存在点不妨设
, 则有
由拉格朗日中值定理,
时, 有
, 使
[2]用上例的思路来证明之. 令
以及
显然可以求得一点
又可求得一点
使得
在每一个小区间即
亦即
将上式对i 从1到n 求和, 可得
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, 使.
和, 使
, 取,
取
; .
当
于是, 总存在
当f （a ）>f（b ）时, 有
. 取
使使
.
再在. 总之, 我们有
在[0, 1]上对f （x ）应用介值定理,
上对f （x ）应用介值定理,
.
, 使得
. 如此下去, 可以求出
上, 对f （x ）应用拉格朗日中值定理, 存在