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一、计算题

1． 图所示均质杆AB , 质量为

长为31, B 端刚性连接一质量为

的物体, 其大小不计. 杆AB

在O 处为较支, 两弹簧刚度系数均为k , 约束如图. 求系统的固有频率

.

图

【答案】杆转过的偏角极小, 两弹簧的伸长量近似为:由动量矩定理得杆的运动微分方程为:

其中,

代入杆的运动微分方程得:

所以系统的固有频率为:

2． 放置在固定半圆柱面上的相同半径的均质半圆柱体和均质半圆柱薄壳, 如图所示. 试分析哪一个能稳定地保持在图示位置

.

图

【答案】（1）非稳定平衡, （2）稳定平衡.

3． 如图所示，滚子A 沿倾角为

的固定斜面作纯滚动。滚子A 通过一根跨过定滑轮B 的

绳子与物块C 相连。滚子A 与定滑轮B 都为均质圆盘，半径相等均为r , 滚子A 、定滑轮B 和物块C 的质量相等均为m ，绳子的质量忽略不计。系统由静止开始运动，试求:

（1）物块C 的加速；

（2）绳子对滚子A 的张力和固定斜面对滚子A 的摩擦力。

图

【答案】（1）以系统为研究对象，设当物块C 下降h 时，其速度为v 。 采用动能定理

其中

即

对上式求一次导数，得

（2）以滚子A 为研究对象，设绳子对滚子A 的拉力为T ，固定台面对滚子A 的摩擦力为F , 方向平行斜面向下，物块C 下降的加速度为a 。

由运动学关系得滚子A 质心的由平面运动微分方程得

联立解得

和角加速度为

4． 长l , 质量为m 的匀质杆AB , BD 用铰链B 连接, 并用铰链A 固定, 位于图1所示平衡位置. 今在D 端作用一水平力F , 求此瞬时两杆的角加速度

.

图1

【答案】（1）以AB 为研究对象, 如图2（a ）所示. 由平面运动微分方程可得

（2）以BD 为研究对象, 如图2（b ）所示. 由平面运动微分方程可得:

其中

解得

图2