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一、计算题

1． 设总体

,

【答案】由

于

是来自总体X 的一个样本, 且

, 求统计量

且

的分布. 与

相互独立,

故

即.

又与. 相互独立, 由t 分布的定义得:

2． 设

【答案】

， 令

得

. 因此，样本容量n 至少为

为抽自正态总体的置信水平为

的简单随机样本，为使得的置信水平为的置信区间为

的置信区间

的长度不大于给定的L , 试问样本容量n 至少要多少？

，

对应的区间长度为

3． 设随机变量X 的概率密度为令

, 为二维随机变量

（X , Y ）的分布函数, 求

（1）Y 的概率密度（2

）（3）

；

；

【答案】 （1）设Y 的分布函数为当当当当

时, 时, 时, 时,

；

； ；

综上所述, 有

于是Y 的概率密度

（2）

;

;

代入计算公式得到

（3）根据二维随机变量的定义, 有

, 需要计算

.

4． 设随机变量序列

试证:【答案】这时立.

5． 设总体X 的概率密度函数为

其中（1）

（2）

为未知参数, 的矩估计量； 的最大似然估计量.

,

的样本值, 则似然函数为

当

时,

且

令

, 解得的最大似然估计值为

从而得到0的最大似然估计量为

6． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）.

【答案】因为X 的可能取值为0, 1，2, …，5, 且

,

为取自总体X 的容量为咒的简单随机样本. 试求:

独立同分布，数学期望、方差均存在，且

仍为独立同分布，且

由辛钦大数定律知结论成

【答案】 （1）总体X 的数学期望为设

为样本均值, 令

可解得未知参数0的矩估计量为（2）设

是相应于