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一、计算题

1． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差.

（1）（2）

【答案】（1）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为

又因为

所以

（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当所以当而当又因为

时，有时，有时，有在

所以

处不可导，故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.

的泊松分布,

每位乘客在中途下车的概率为

2． 设某班车起点站上客人数X

服从参数

, 且中途下车与否相互独立, 以Y 表示在中途下车的人数, 求:

（1）在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量

的概率分布.

【答案】 （1）求在发车时有n 个乘客的条件下, 中途有m 人下车的概率,

相当于求条件概率

.

将每位乘客在中途下车看成是一次试验, 且每个人下车是独立的, 有n 个人相当于做了n 次独立重复试验. 若将乘客下车视为试验成功, 不下车视为试验失败, 而且每次试验成功的概率都为P , 则问题（1）转化为n 重伯努利试验中m 次成功的概率. 因此条件概率服从二项分布, 即

（2）求二维随机变量因为X 服从参数故其中

.

的概率分布, 其实就是求

的泊松分布, 则

,

, 利用乘法公式, 有

3． 一个人的血型为A , B , AB ，0型的概率分别为0.37，0.21, 0.08, 0.34. 现任意挑选四个人，试求:

（1）此四人的血型全不相同的概率； （2）此四人的血型全部相同的概率.

2, 3, 4人血型依次为A ，B ，AB ，0. 则“四人的血型全不相同”共有【答案】（1）若第1，种可能情况，而每种情况出现的概率都是0.37×0.21×0.08×0.34, 于是所求概率为

（2）所求概率为

P （血型全相同）=P（全为A 型）+P（全为B 型）+P（全为AB 型）+P（全为0型）

4． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且

【答案】因为

5． 系统由n 个部件组成. 记

所以

试求

独立同分布，

且

为第i 个部件能持续工作的时间，如果

试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:

（1）如果有一个部件停止工作，系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作. 【答案】因为

所以

的密度函数和分布函数分别为

（1）根据题意，系统持续工作的时间为所以，当这是参数为

时，密度函数的指数分布，所以

而当

时

所以，当

时

（2）根据题意，系统持续工作的时间为

所以系统持续工作的平均时间为

6． 设某种商品每周的需求量X 服从区间

上均匀分布的随机变量, 而经销商店进货数量为

区间[10, 30]中的某一整数, 商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理, 每处理1单位商品亏损100元；若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每1单位商品仅获利300元, 为使商品所获利润期望值不少于9280元, 试确定最少进货量.

【答案】需求量X 在区间[10, 30]上服从均匀分布, 它的概率密度为

设进货量为a , 则销售所得利润与需求量有关. 当当

时, 进货量全售出得利润500a , 差额从外调剂获利润时, 销售得利润

多余数量作削价处理亏损了

所以利润函数为

求数学期望

由题意利润期望值不少于9280元, 所以由用因式分解法解此不等式有因为a 为整数, 所以

7． 设

若分别取问

是否为

为最小进货量.

的一个样本，

作为

的估计量，

的无偏估计.

是取自均匀分布总体

和

的无偏估计量？如果不是，如何修正才能获得则

从而

记

【答案】令于是有

为样本相应的次序统计量，