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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

A. B. C. D. 【答案】D 【解析】

2． 设行列式

阶方阵，且秩

秩

有无穷多解 必有惟一解

必有非零解

秩A , 则线性方程组（ ）.

，则方程，为

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

的根的个数为（ ）

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

有两个根

3． 设次型.

A. B. C.

为任意实数

不等于0

为非正实数

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则当（ ）时，此时二次型为正定二

D. 【答案】D

不等于

则

【解析】方法1用排除法令这时方法2

所以当方法3设

对应的矩阵为A ，则

即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.

则

时，f 为正定二次型.

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

，

即

时，二次型可化为

所以f 为正定的.

4． 设A 为矩阵，常数，则

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于

是非齐次线性方程组

的三个线性无关的解，

时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.

则当

是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意

的通解为（ ）.

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所以又显然有基础解系.

考虑到 5． 设

则由基A.

是.

是对应齐次线性方程组

（否则与

有解矛盾），所以

的两个线性无关的解.

从而

是

的一个

的一个特解，所以选C. 是3维向量空间

到基

的一组基,

的过渡矩阵为（ ）.

B.

C.

D. 【答案】A

二、分析计算题

6． 设P 是数域，

证明：存在可逆阵P , Q, 使

【答案】因为秩

所以

且和

秩

有相同的r 阶顺序主子式.

可逆阵P 、Q ，使

又因为所以有

所以

令

这里

均为r 阶方阵，

都是

阶方阵，将它们代入式（1）得

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