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一、证明题

1． 证明：

【答案】

于是，对于

存在M>0, 使得当

时，有时.

. 在[-M, M]上，由连续函数于是，对于一切

故

2． 设

【答案】因知

收敛.

上连续，且

证明

当

时，有

即在

在

内有界，又由上有界. 设

将

在

上连续知，分拆成两项

对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得

' 为有界函数.

的有界性定理知，存在S>0，使得当

为有界函数.

且

有界，证明

使

收敛.

从而

又

收敛，由比较原则

有界，故存在

3． 设在

【答案】由

知，对于数1，存在从而

上有界.

综合上面可得

在

其中第一项当时必趋于零. 事实上

使

从而

时，所以

4． 证明函数

【答案】令

，所以

在因此

上连续.(提示：证明中可利用公式

据

为积分下限函数是

5． 求平面曲线段等长.

【答案】令所以，曲线上任一点化简即

又因

所以，任一点处的切线被坐标轴截取的线段等长(均为a ) .

则

处的切线方程为：

此切线与x , y 轴的交点分别为

的连续函数，所以

在

上连续.

上任一点处的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线

二、解答题

6． 设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。

【答案】x 与这n 个数之差的平方和为

又因

故

于是

由

得

问以怎样的数值x 表达所要测量的真

为最小值点，因此x 为的算术平均值时，它与

这n 个数之差的平方和为最小。

7． 求

【答案】

方法一令

在全平面上的最大最小值.

可得驻点(1，0) . 通过计算易知

，

所以(1，0) 为极小点，极小值为f (1，0) =-1.注意到

于是有

由此可见，f (x , y ) 在全平面上无最大值. 而另一方面，即f (x ，y ) 在有界闭域：

. 当

或

时

上的最小值-1必是f (x , y ) 在全平面上的最小值.

方法二：先固定x ，求. 将f (x ，y ) 改写为：

显然

于是

故

又由

方法三 用配方法

.

且f (1，0) =-1即最小值为-1，无最大值.

8． 求心形线

【答案】

的切线与切点向径之间的夹角.

由半角公式

得

故当

时

当

时

可知f (x , y ) 在

上无最大值.

9． 周长一定的等腰三角形中，腰与底成何比例时，它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？

【答案】设周长为所得旋转体

是由这样两个同样的圆锥组成的，

其中每个圆锥高为旋转体体积为

由此推出

10．研究函数

【答案】当

时，

当

时，

的连续性.

. 即腰与底的比为时，旋转体的体积最大.

底面半径为

于是，

腰长为X ，底长为

则有

即

等腰三角形绕底边旋转