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一、计算题

1． 自旋在

方向的粒子，磁矩为

置于沿z

方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其

概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在

方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的

变化。这时的哈密顿矩阵为：

式中，

是泡利矩阵，

为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩

与角动量的方

向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：

即：

积分后得：

取t=0时刻的初始条件为则:

式中，

围绕极轴转动，相

由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度当于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。

图

2． 在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求

的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：

容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为

（2）将

表象中

的三个本征矢并列，得到从

表象到

表象变换矩阵

利用变换公式：

3．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

得到的对角化矩阵

和]和

且有试用Schmidt 方法构成正

贝IJ :

得：

同理，设由

则：

因此：

代入上式，得：

故：

4． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为

为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数（3）t 时刻的能量平均值.

【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有

故

其中

（2） —维谐振子能量为故

t 时刻波函数为

（3）

各自对应概率为

7

均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为

5． 已知

【答案】

在的本征态下，计算的平均值。