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一、计算题

1． 设氢原子处于状态：

（a ）测得该原子的能量的可能值为多少? 相应的概率又为多少？

（b ）测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研] 【答案】（a ）氢原子能级

对应概率为：

对应概率为：

（b ）由题意，m=l, ﹣1，0

而可能取值为故

可能取值有

对应概率

对应概率

对应概率

2． 粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

a 为玻尔半径. 故氢原子可能能量为

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

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对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

因此，通解可以表示为其中，

是满足不含时的薛定谔方程

3． 设氢原子处于状态

求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.

【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数

所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：

几率1/4，

几率3/4，

其平均值

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几率为1，能量的平均值为

几率为1，其平均值为

4． 对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则

也是

利用对易关系

的本征态.

其

中

是

符号

，

证明：若f 是

的共同本征

（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.

（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由

同理可得则

的三个分量之间的关系通式为

：

（b ）

若f 是则

可见

是

和

的共同本征函数，本征值分别为

代入

的本征方程

得

的共同本征函数，可设

（c ）在球坐标中，

利用周期性边界条件由归一化条件可得

相应的本征方程为

5． 一粒子在一维无限深势阱

可得

则的本征态为

中运动，求粒子的能级和对应的波函数.

【答案】由一维定态薛定谔方程有

又在边界处应该满足连续条件故

由归一化条件有故

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