2017年吉林大学半导体物理、量子力学(同等学力加试)之量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：
【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程
处于定态时有
则有
由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则
设
则波函数满足奇宇称或偶宇称.
注意到①有
有
注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有
】
】
再考虑到归一化条件
综合（1）（2）讨论有波函数
本征能量矩阵元即
若m=n, 可得到若
则可得到
2． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.
【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为
（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为
对应能量为
.
（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是
对应能量为
.
（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知
对应的本征函数有4个：
是交换反对称的，要配对称的空间波函数；
是交换对称的，要配反对称
对应能量为
.
3． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.
（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由
和由
表象中，
很容易求得
分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同
是体系总自旋平方的本征态.
的本征值与本征矢：
（2）
的本征方程
可得，
故
（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中
的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是
的本征值为±1，说
的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符
的本征方程
的共同本征态
其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：
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