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一、计算题

1． 试表述并验证桁架单元的“平衡-几何”互伴定理。

【答案】桁架单元的“平衡-几何”互伴定理为：

如果所选取桁架单元的内力

为共辄关系，则平衡矩阵

和几何矩阵

必互为转置矩阵：

采用方案进行验证。 桁架单元平衡矩阵为：

和变形

之间

单元几何平衡矩阵为：

由 可知，桁架平衡-几何互伴定理成立。

2． 图（a ）所示刚架EI 为常数。欲使结点C 、D 水平位移为零，试用位移法分析，求出比值a/b。已知跨度为1的两端固定水平梁，距左端为a （距右端为b ）处作用竖向集中荷载FP 时的固端弯矩为

：

图

【答案】根据已知条件一一水平位移为零，相当于在顶点有一个水平约束，并且该约束的反力等于零。现在这个结构只有两个转角未知量，令图（b ）〜（e ）。

位移法方程为：

根据各个弯矩图求出各系数如下：

代入方程求解得：

各个附加链杆上的力应满足方程：

即

将方程求解可得：

基本体系、图、图和图分别见

3． 试写出在均匀静水压力作用下图示等截面无铰圆拱的特征方程。

图1

【答案】参见题图弹性支座等截面圆拱，在静水压力作用下的特征方程

则当

4． 求图（a ）所示体系在稳态受迫振动时的最大弯矩图，

为分布质量，

即为无铰拱在静水压力作用下的特征方程

也可直接按无铰拱的边界条件确定其特征方程。

图

【答案】在支座B 处加附加刚臂如图（b ）所示，绘单位弯矩图如图（c ）所示，绘原荷载作用下的弯矩图如图（d ）所示。

用刚度法建立振动微分方程：

由

代入相关系数和自由项得：