2017年上海市培养单位上海光学精密机械研究所601高等数学(甲)考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 已知齐次线性方
程
的通解。
【答案】由题设知次方程化为标准形
与
都是齐次方程的解，y 1与y 2显然是线性无关的。将非齐则方程的通解为
其中
因
2． 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少?
【答案】设矩形另一边的长度为l 并建立如图所示的坐标系，则质心的纵标
故非齐次方程的通解为
的通解
为
求非齐次线性方
程
由题设
即可算得
图
3． 计算下列积分：
【答案】（1）因为
原式
故
（交换积分次序）
由于
因此
原式
（2）因为
，故
（交换积分次序）
由于
（分部积分）
因此
原式
4． 计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（如图所示）
图
R]，【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[-R，相应的截面等边三角形边长为面积为
5． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
，
，因此体积为