2017年上海市培养单位上海光学精密机械研究所601高等数学(甲)考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 试问a 为何值时, 函数并求此极值。
【答案】故a=2
又因此
2． 设
【答案】
3． 画出下列曲线在第一卦限内的图形：
，试按定义求
,
为极大值。 。
, 函数在
处取得极值, 则
=0, 即
,
处取得极值? 它是极大值还是极小值?
【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示
图1 图2 图3
4． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α角斜沉于液体内，长边平行于液面而位于深h 处，设a>b，液体的密度为ρ，试求薄板每面所受的压力。
【答案】如图，记x 为薄板上点到进水面的长边的距离，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 6]，对应小区间[x，x+dx]，压强为
，面积为adx ，因此压力为
图
5． 自点标为（点
（，0，为点
；）
）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.
为点
关于xOz 面的垂线，垂足F 坐
，
，0）；
为
为点
关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为（
，
）
. ，0，0）；
为点
关于y 轴的垂线，垂
）
.
【答案】设空间直角坐标系如图所示，根据题意，关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为（0，
，0）；
为点
关于x 轴的垂线，垂足A 的坐标为（
足B 的坐标为 （0，关于z 轴的垂线，垂足C 的坐标为（0，0，
图
6． 求下列函数的导数：
【答案】（1）（2）（3）
（4）
（5）先在等式两端分别取对数，得
，于是
7．
设均匀柱体密度为
，再在所得等式两端分别对x 求导，得
。
，占有闭区域，求它对于位于点
M 0（0, 0, a ）（a>b）处的单位质量的质点的引力。
【答案】由柱体的对称性和质量分布的均匀性知F x =Fy =0，引力沿z 轴的分量
8． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
在
内却不是单调函数。
内为单调增加函
数。但它的导函数
,
由于