2017年上海市培养单位上海光学精密机械研究所601高等数学(甲)考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
在（﹣∞, +∞）上收敛。
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，
该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）的等比级数，且
故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
则当n>N时，
（3）该级数的各项
，取
（不妨设ε<1）
在区间[0, 1]上是连续的，
如果
取N=1，则当n>N时，就有
在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]
有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。
在区间
上，因为
所以，
取
当n>N时，对一切
即级数在
上一致收敛。
2． 一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点0处且速度为v 0，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比（比例系数k l >0）而方向与初速一致. 又介质的阻力与速度 成正比（比例系数k 2>0）. 求反映这质点的运动规律的函数.
【答案】设质点的位置函数
为
解特征方程
，
且有
解得
故
3． 用对数求导法求下列函数的导数：
【答案】（1）在，得
并注意到y=y（x ）
有
由题意
得
得
得
即
故有通解
且
代入初始条件
两端取对数，得在上式两端分别对x 求导，
于是
（2）在
两端取对数，得
在上式两端分别对x 求导，并注意到
得
于是
（3）在
两端取对数，得
在上式两端分别对x 求导，并注意到
得
于是
（4）在
两端取对数，得
于是
4． 求由
所决定的隐函数对x 的导数
【答案】方程两端分别对x 求导, 得
5． 求平面2x －2y ＋z ＋5=0与各坐标面的夹角的余弦.
【答案】平面的法向量为n=（2，﹣2，1）. 设平面与三个坐标面xOy ，yOz ，zOx 的夹角分别为
，
，
. 则根据平面的方向余弦知