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一、简答题

1． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

2． 分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。 【答案】

二、计算题

3． 对于描述电子自旋的泡利矩阵（1）在表象中求（2）若明其物理意义.

（3）对于两个电子组成的体系，若用本征态，证明态矢量【答案】（1）在由

和由

表象中，

很容易求得

分别表示单电子自旋平方和自旋z 分量的共同

是体系总自旋平方的本征态.

的本征值与本征矢：

（2）

的本征方程

1，说的本征值为±

的归一化本征函数. 为某一方向余弦，证明算符

的本征方程

可得，

故

（3）在耦合角动量表象中，总自旋其中

则题中故

是的本征态.

4． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用于是

5． 设

可得即

为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，

某态表示为

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

的共同本征态

其物理意义即电子自旋的泡利算符，在空间任意一个方向的投影只能取两个值：

在该态下计算（结果应尽量化简）：

（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）

内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿

的几率。

为总角动量，计算在该态下的平均值。

在薄球壳

内找到粒子的概率

【答案】（1）由题意可得：为：

（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：

已知在本征态表象下因此有：

故：

（3）在

下的平均值为：

6． 设粒子从

入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量

（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为

令

则方程的解为

其中第一部分为入射波，第二部分为反射波

.

此即透射波函数.

由波函数连续及波函数导数连续有

试

而当x ＞0时

，

解得

则波函数为其中

（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为

：

可知