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一、简答题

1． 完全描述电子运动的旋量波函数为

分别表示什么样的物理意义。

【答案

】

表示电子自旋向

下

表示电子自旋向上

的几率。

位置

在

处的几率密度

；

试述

及

2． 如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为

.

则对任意波函数

完全系为有：

可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。

依题意

二、计算题

3． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

4． 已知

分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，

证明

是

的本征态，并就

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为电子的总角动量。（）

的共同本征态为相应的本征值。 【答案】

两种情况分别求出其

5． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态

电子跃迁到激发态的概率.

（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由

.

【答案】（1）根据跃迁几率公式

其中

可知，必须先求得

终态量子数必须是

到末态

的跃迁矩阵元为

将

代入跃迁几率公式

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其中 T 为常数。

已知，a 基态其中为玻耳半径.

根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态

（2）基态电子跃迁到

6． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符

的几率均为0, 因为不符合跃迁的选择定则

满足

的矩阵表示。

且

求：

（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，

在A 表象中算符的矩阵是

：设在A 表象中算符

的矩阵是由于

所以：

则有：

所以：

则有：令

其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：

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所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，

利用

得：

由于是厄米算符，

即

则有：