2018年华东理工大学理学院818量子力学考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 试证明，表象经么正变换后，不改变算符本征值。 【答案】设可得：
（其中
为幺正变换，则:
）
可见，本征值不变。
2． —粒子处于势场V （x ）中，且势V （x ）没有奇点. 假设相应的本征能量色【答案】由题意
并在方程两边同时积分
又
则
则由正交归一化条件有
有
考虑到哈密顿算符的厄米算符性质并利用式Ⅱ有设粒子本征波函数完备集为
试证明这两个波函数对应的态矢正交.
是束缚态的波函数，
态矢为态矢为
即
Ⅳ、Ⅴ代入Ⅲ有此即
亦即两个波函数对应态矢正交.
二、计算题
3． 已知在象到
表象中，的本征函数为：则由表
表象的变换矩阵S 是什么？
【答案】
4． 设
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在
下的平均值为：
5． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：
表示；
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：电子轨道运动，
此时T=0。
求t ＞0时，自旋的平均值。提示：
提示：忽略
这里
为电子的磁矩；
自旋用泡利矩阵
（2）假设t=0时，电子自旋指向x 轴正向，即
（3）求t ＞0时，电子自旋指向y 轴负向，即【答案】（1）忽略电子轨道运动，是玻尔磁子。所以哈密顿为：
的几率是多少？
其中，
薛定谔方程为：
（2）在
表象中求解，自旋波函数可表示为：
即：
式中，
满足
即
设t= 0时，电子的自旋指向x 轴正向，
对应波函数为