2018年华北理工大学理学院828量子力学考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． —个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
2． 归一化波函数是否可以含有任意相因子 【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。
如果
对整个空间积分等于1，则
对整个空间积分也等于1。
去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的
二、计算题
3． 自旋在
方向的粒子，磁矩为
置于沿z
方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其
概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
式中，
是泡利矩阵，
为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩
与角动量的方
向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：
即：
积分后得：
取t=0时刻的初始条件为则:
式中，
围绕极轴转动，相
由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度当于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。
图
4． 对于自旋的体系，求量
得
的概率和
的本征值和本征态，并在较小的本征值对应的本征态中，求测
的平均值。
设本征态
本征值为则：
【答案】
将代回原方程：
即：
所以，因此有：
同理可得：
的本征态
所以在
态中测量
的几率为：
5． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
所需的最短时间
任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由
得，
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为
（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设
时刻粒子的波函数是
处于第一激发态的几率
即
可得
所以当n=l时有最小时间，即
6． Q 表缘的基矢有两个：
解得
算符有如下性质：
（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为
求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.