2017年东北石油大学数学与统计学院826高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
2． 画出下列各方程所表示的曲面：
【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示；（4）如图4所示；（5）如图5所示
.
，即弦为x=a时取到，最小值为
。
图1 图2
图3 图
4
图5
3． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
所以
，满足
所以积分
与路径无关，
是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
，所以
的最小值.
=y+1，所以
（2）因为令
①当t ＞2时，②当t ＜2时，所以t=2时，
4．
求由平面
得的立体的体积。
【答案】此立体为一曲顶柱体，它的底
是
，顶是曲面
面上的闭区
域，故体积
（图）
，，有最小值
，所以
，计算得t=2，则：
在在=2+1=3
所围成的柱体被平面
及抛物面
截
上单调递增； 上单调递减.
图
5． 求下列极限并说明理由:
（1）（2）
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