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一、证明题

1． 已知在

证明:函数列【答案】由

上，函数列

一致收敛于一致收敛于在上分别一致收敛于

函数列

可得

在上分别一致收敛于

又故

在

上一致收敛于

2． 设

于

【答案】显然，由题设知

所以对一切n

都有

于是，当

即

递减，并且0是

的一个下界

.

即存在.

设

递增. 由

知，

是在

得

所以

3． 设

在

上二次可微，且

证明:【答案】

及任意的实数h ，由泰勒公式，有

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一致收敛于

记证明：数列

时，

与的极限都存在且等

的一个上界. 由单调有界定理知，的两边同时取极限，

得到

对

的极限都即a=b，

又由

两边取极限

得

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界，可得

上式是关于h 的二次三项式，由其判别式

可得

二、解答题

4． 求由曲线

与坐标轴所围图形的面积。

和

所围图形的面积为

【答案】如图所示，曲线与x 轴、y 轴的交点为

图

5．

求曲面

【答案】由于

所以曲面面积为

6． 设

，级数

收敛，由于

是f (x ) 在区间

而

上的正弦级数，求

的面积，其中a ，b 是常数满足

【答案】对任意的知

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别法

一致收敛，所以由一致收敛函数列的性质知

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7． 问a 和b 为何值时，点

【答案】组

解得

8． 设

【答案】记

则，

试证：当

时，显然

在

为曲线

由

的拐点？ 为该曲线的拐点知，

由此得到方程

上连续，所以可在积分号下求导，即

令

从

当x = 0时

，

9． 设

计算下列积分：

【答案】(1) 应用广义球坐标变换

(2) 应用广义球坐标变换

则

(C 为常数) ，

所以

因此，

当

时

，

故

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