2017年西安建筑科技大学理学院818高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求曲线
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离
. 它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
2． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?
【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故
令
, 得
, 又
当时, , 故V 在内单调增加; 当
为极大值点, 又驻点惟一, 从而
时,
, 故V
在
内单调减少。因此
也是最大值点, 即当
取
时, 做成的漏斗的容积最大。
图
3． 计算时针方向。
【答案】取平面
的上侧，如下图所示，则其法线方向的方向余弦为
积分曲线在xOy 平面上的投影为椭圆
，即
由斯托克斯公式得
，曲线
，的方向由x 轴的正向看是逆
图
4． 设平面区域
【答案】由对称性可得
，计算
5． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.
，由向量的几何意头知
【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）
而
故设当
，
则由
时，△ABC 的面积取得极小值，由于驻点唯一，故当
得
.
因
，故
，即C 的坐标为（0, 0，）
时，最小.
6． 计算抛物线y>0，故有
从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设
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